欧拉常数的证明(欧拉常数)
在数学的长河中,有一个非常重要的常数γ,它同e,π那样,是我们经常提到的一个常数,名为欧拉常数。欧拉常数最先由瑞士数学家莱昂哈德· 欧拉 (Leonhard Euler) 在1735年发表的文章《De Progressionibus harmonicus observationes》中定义。欧拉曾经使用γ作为它的符号,并计算出了它的前6位,1761年他又将该值计算到了16位 。
欧拉常数究竟是多少呢,笔者就开门见山地告诉大家:
接着我们来说他的数学形式:它是以数列极限的形式给出的:
这里面包含了两个重要的数学函数式:
和
欧拉常数是怎么由来的呢?原来,它来自一道经典数学难题:
这个级数被称为调和级数。们一开始并不知道它的发散性怎么样,后来被证明是发散的,在于是在调和级数的基础上,欧拉才得以发现欧拉常数γ。
证明过程
探讨此常数对于数学分析和数论的发展具有重要的意义,甚至可以说对整个数学的发展都会产生深刻的影响,这是为什么呢?
事实上,直到今天人们对γ的认识依旧很肤浅,甚至不能说出它是有理数还是无理数,也不知道它是代数数还是超越数,但分析表明:如果它是一个有理数,那么它的分母位数将超过 10^242080次方,这是一个不可想象的巨大数字。
因此,研究欧拉常数是十分必要的。
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