欧拉恒等式证明（代数基本定理）
根据代数基本定理，每个多项式在其定义域内的某个点上都有一个根。虽然这个定理早在18世纪初就已经被提出（由三位数学家，彼得·罗斯，艾伯特·吉拉尔和勒内·笛卡尔提出），但是第一个（非严格的）证明是在1746年由法国博学家让·勒朗·达朗贝尔在他的著作《关于卡尔库尔积分的研究》中发表的。该定理第一个严格证明的作者是卡尔·弗里德里克·高斯，他是历史上最杰出的数学家之一。
图1：法国博学家让·勒朗·达朗贝尔和德国著名数学家卡尔·弗里德里克·高斯。
让我们先讨论一些将在证明中使用的相关概念。
复数
复数z是具有以下形式的数：
其中x和y是z的实部和虚部。i是虚数单位，它是二次方程的解：
16世纪著名的意大利数学家卡尔达诺（他同时还是一名医生、生物学家、物理学家、化学家、哲学家等）在他的三次方程的根研究中引入了复数。
通过复数平面，我们可以用几何形式表示复数。横轴包含实数，纵轴包含虚数。下图显示了复平面中的想象单元i。这个圆叫做单位圆。
换句话说，利用复平面，我们可以用几何来解释复数。例如，在加法下，它们表现为向量：
为了更好地表达复数乘法，用极坐标代替笛卡尔坐标更方便。
这里我们用：
利用公式3，可以将复数相乘写成如下形式：
象征性地我们有：
多项式和根
根据维基百科，“多项式f是一个由变量和系数组成的表达式，它只涉及加、减、乘运算，以及变量的非负整数指数。如果f(x) = 0，则x是该多项式的根。
一个实数多项式方程的例子如图5所示。
为了绘制具有复杂参数的多项式的图，我们遇到了一个问题：复数是2D的，因此定义在复数上的复数值函数的图将是4D。一种可能的解决方案是使用颜色来表示尺寸。这里的想法是这样的（见图6a）。选择原点为黑色，然后绕着它逆时针旋转，通过色轮的颜色（红、黄、绿、青色、蓝、品红，然后回到红色）。当z接近原点时，指定的颜色z接近黑色。相比之下，当|z|→∞时，其颜色趋于白色。注意，每个z都有一个不同的颜色，因此它的颜色唯一地指定了它。我们在图6b中绘制一个函数f: C→C的图，我们用与f(z)的值相关联的颜色对每个点z∈C着色。因此，通过确定点z的颜色，再与图6a比较，可以得到任意点z的f(z)，然后用颜色表示哪个复数。这种技术叫做区域着色。
6a
6b
图6a：复杂的平原(左)。图6b(右)：f(z)的域着色坐标。代数基本定理(FTA)
代数基本定理指出，每一个多项式p(z)都有一个复根。下面由数学家林赛·蔡尔兹证明。它是基于瑞士业余数学家让-罗伯特·阿根德在他1814年发表的著作《关于新理论分析的反身性》中给出的结论。
证明
更正式地说，我们的目标是证明对于任何具有复系数的多项式p(z)
有一个复数Ç ∈ Ç(其中c是复数的集合)使p（C ^）= 0，或：
为了证明FTA我们需要以下辅助结果：如果K→R是连续的，那么f (x, y)上有一个最小值和最大值。
实际上，FTA依赖于两个更简单的引理，为了避免混乱，将省略这些引理。
现在考虑定义集合K：
符号|，|代表复数的绝对值
因为K是连续的函数
如果R足够大，我们有:
现在，上述不等式等于：
注意，这个不等式不仅在某些圆盘内，而且在所有的复平面C上都是有效的。
下一步是假设p(c)≠0，定义如下函数：
并证明存在一个复数u，使得|h(u)|<1或者等价地：
函数h的形式为：
其中g(z)为连续多项式。然后定义d：
然后我们写出h(td)对于t∈(0,1)。我们得到：
三角不等式告诉我们：
对于足够小的t，由于多项式g是连续的，我们得到：
这个结果与我们在式12和13中的假设相矛盾。这就是证明！
